掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具，应该说不仅会降低学习的难度，而且会增强可操作性。角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要，三种空间角都可转化为平面角来计算，可进一步转化为向量的夹角求解。

1.求两条异面直线所成的角

具体求法：先求 ， 所成的角（0∈［0，π)），再转化为异面直线ＣＡ与ＤＢ所成的角（θ∈(0， ］），即：θ=arccos| |，其中 ， 分别是直线a，b的方向向量。

例1.（2006年福建卷）如图1，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 。求异面直线AB与CD所成角的大小。

解：以O为原点，如图2建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，0，0），C（0， ，0），A(0，0，1)，E( ， ，0)， (-1，0，1)， (-1，- ，0)，cosθ＜ ， ＞= = ，

异面直线AB与CD所成角的大小为arccos 。

2.求直线和平面所成的角

具体求法：设 是斜线l的方向向量， 是平面的法向量，则斜线与平面所成的角是α=arcsin| |。

例2.（2007湖北?理?18题）如图3，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜ ）。

（Ⅰ）求证：平面VAB平面VCD ；

（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。

（Ⅰ）证明：（略）

（Ⅱ）解：以CA、CB、CV所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（a，0，0），B(0，a，0)，D( ， ，0)。

设V(0，0，t)(t＞0）（Ⅰ），

=（0，0，t)， =( ， ，0)， =(-a，a，0)，

设直线BC与平面VAB所成的角为φ，

设n=(x，y，z)是平面VAB的一个非零法向量，

则n? =(x，y，z)?（-a，a，0）=-ax+ay=0，n? =(x，y，z)?（-a，0，t）=-ax+tz=0，

取z=a，

得x=y=t。

可取n=(t，t，a)，又 =（0，a，0），

于是

sinφ=

= =

= ，

t∈（0，+∞），sinφ关于t递增，

0＜sinφ＜ ，

φ∈(0， )。

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0， ）。

3.二面角

方法一：构造二面角α-l-β的两个半平面α、β的法向量 、 （都取向上的方向，如图5所示），则：

（1） 若二面角α-l-β是“钝角型”如图5甲所示，那么其大小等于两法向量 、 的夹角的补角，即

cosθ=- 。

（2） 若二面角α-l-β是“锐角型”，那么其大小等于两法向量 、 的夹角，即cosθ= 。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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